⚡ 核心公式速览
两个重要极限：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$
1^∞ 型公式：$$\lim (1 + \alpha(x))^{\beta(x)} = e^{\lim \alpha(x)\,\beta(x)}$$
常用等价无穷小（x → 0）：$$\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x$$ $$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad \ln(1 + x) \sim x, \quad e^x - 1 \sim x, \quad (1 + x)^a - 1 \sim ax$$
泰勒公式（佩亚诺余项）：$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$$
常用展开（x₀ = 0）：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots, \qquad \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots, \qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots$$ $$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots, \qquad (1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots$$
第一类（可去、跳跃：左右极限都存在）；第二类（无穷、振荡）。
本讲定位：高数起点、全书的语言基础。考研考题：计算函数极限（选择、填空、解答）。重难点：洛必达法则、泰勒公式。
一、函数的概念与特性
- 函数三要素：定义域、对应法则、值域；表示法：解析式、图像、表格。反函数 y = f⁻¹(x) 与原函数关于 y = x 对称；复合函数 y = f(g(x)) 注意定义域嵌套；隐函数（由方程确定的函数）。
- 四种特性：有界性（M 使 |f(x)| ≤ M，注意是"存在"且与区间有关）、单调性（用定义或导数判）、奇偶性（f(−x) = ±f(x)，定义域须对称；奇函数若在 0 处有定义则 f(0) = 0）、周期性（f(x+T) = f(x)；f 的周期 T 与 g 的周期 T′ 之比是有理数时 f±g、fg 仍周期）。
- 重要结论（记住）：奇偶函数在对称区间积分的性质；f(x) 为奇函数 ⟹ 其导数为偶函数、其原函数（积分上限函数）为偶函数；周期函数的导数仍周期。
- 基本初等函数（幂、指数、对数、三角、反三角）的图像与公式必须张口就来；初等函数 = 基本初等函数经有限次四则与复合。
二、极限
- 描述性定义：x → x₀（或 ∞）时 f(x) 无限趋近 A。左右极限 x → x₀⁻/x₀⁺；极限存在 ⟺ 左右极限存在且相等（分段函数分界点必须分左右算！）。
- 性质：唯一性、局部有界性、局部保号性（保号性：极限 > 0 则某去心邻域内 f > 0——常用于证明题）。
- 四则运算法则：极限存在的前提下才可拆分（"有限个存在极限"）。
- 两个重要极限：lim(sin x / x) = 1（x → 0）；lim(1 + 1/x)ˣ = e（x → ∞），及其变形 1^∞ 型：lim(1+α(x))^(β(x)) = e^(lim α·β)。
- 两个准则：夹逼准则（适用于被夹逼、放缩法）；单调有界数列必有极限（数列极限证明题标配）。
三、无穷小与无穷大
- 无穷小：极限为 0 的量（与过程有关）；无穷大与无穷小互为倒数（分母极限非 0）。
- 等价无穷小替换（乘除因子可换，加减慎用——加减速记：整体代换或用泰勒）：x → 0 时，sin x ~ x，tan x ~ x，arcsin x ~ x，arctan x ~ x，1 − cos x ~ x²/2，ln(1+x) ~ x，eˣ − 1 ~ x，(1+x)^a − 1 ~ ax，√(1+x) − 1 ~ x/2。
四、极限计算的工具箱（本讲实战核心）
- 基本型：约分、有理化、四则、两个重要极限、等价替换。
- 洛必达法则：0/0 或 ∞/∞ 型才可用，先化简后使用（等价替换、提出非零因子），用一次检查一次条件。
- 泰勒公式：f(x) = f(x₀) + f′(x₀)(x−x₀) + f″(x₀)/2!·(x−x₀)² + …；佩亚诺余项 o((x−x₀)ⁿ)。常用展开：eˣ、sin x、cos x、ln(1+x)、(1+x)^a 在 x₀ = 0 处——泰勒是处理加减法极限与确定阶数的终极武器。
- 抓大头：同除最高次项处理 ∞/∞ 型；n 项和用夹逼或定积分定义（第 8 讲）。
五、连续与间断点
- 连续 ⟺ lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)（左右极限存在、相等、等于函数值三合一）；左连续 + 右连续。
- 间断点分类：第一类（左右极限都存在）——可去间断点（相等但不等于函数值/无定义，改定义即可连续）与跳跃间断点；第二类——无穷间断点（如 tan x 在 π/2）与振荡间断点（如 sin(1/x) 在 0）。
- 初等函数在其定义区间内连续；连续函数四则、复合仍连续；单调有界函数的反函数连续。
易错点
：分段函数分界点必须用左右极限；洛必达用前不验证 0/0 型；等价无穷小替换用在加减项中随意代换；1^∞ 型直接写 1；把可去间断点当成连续。