海涅定理（归结原则）：$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \{x_n\} (x_n \neq x_0, \ x_n \to x_0): \lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$$
夹逼准则：$$y_n \leq x_n \leq z_n, \quad \lim y_n = \lim z_n = a \implies \lim x_n = a$$
单调有界准则：$$\text{单调有界数列必有极限}$$
递推数列两步走：$$\text{①证单调 + 有界} \implies \text{②令 } x_{n+1} = x_n = a \text{ 解方程}$$
本讲定位：单独把"数列极限"拎出来讲，考题：证明数列极限的存在性（选择、填空、解答）。重难点：海涅定理（归结原则）的应用；放缩 + 夹逼准则；单调有界准则证明极限存在。
应用：①用函数极限求数列极限（如 lim √n·(√(n+1) − √n)）②证明函数极限不存在（找两个子列极限不同）。
应用：n 项和式极限（每项放缩后可求和、首尾同限），典型如 lim(1/n²)Σ√(n²+k)；放缩方向要"两头都能算"。
应用：递推数列 xₙ₊₁ = f(xₙ) 证明极限存在——两步走：①证单调 + 有界（数学归纳法常用）②设极限为 a，令两边取极限解方程（注意先证存在再取极限！）。典型：x₁ > 0, xₙ₊₁ = (1/2)(xₙ + a/xₙ) → √a。
：先证存在再解方程（直接令 xₙ₊₁ = xₙ = a 是无效证明）；夹逼的放缩必须"同限"；有界不一定收敛；海涅定理中数列不能取等值点。