第 18 讲

多元函数积分学（仅数学一）

考题：三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分
重难点：第二型曲线/曲面积分；格林公式；高斯公式；斯托克斯公式

⚡ 核心公式速览

三重积分（球面坐标）：$$\iiint_\Omega f\,dV = \int^{..}\!\!\int^{..}\!\!\int^{..} f(r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi)\, r^2\sin\varphi \, dr\,d\varphi\,d\theta$$

第一型曲线/曲面积分：$$\int_L f\,ds = \int_a^b f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}\,dt; \qquad \iint_\Sigma f\,dS = \iint_D f\sqrt{1 + z_x'^2 + z_y'^2}\,dxdy$$

格林公式：$$\oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \quad (L \text{ 取正向})$$

高斯公式：$$\oiint_{\Sigma_{\text{外}}} P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$$

斯托克斯公式：$$\oint_L P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} dy\,dz & dz\,dx & dx\,dy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

路径无关四等价（单连通域）：$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \iff \oint = 0 \iff \text{存在原函数 } u \ (du = P\,dx + Q\,dy)$$

本讲定位：数学一收官大讲。考题：三重积分、第一/二型曲线积分、第一/二型曲面积分（选择、填空、解答）。重难点：①第二型曲线积分 ②第二型曲面积分 ③格林公式 ④高斯公式 ⑤斯托克斯公式。

一、三重积分

∬∬∭∭ 概念、性质与对称性（普通对称性、轮换对称性——与二重积分同思想）。

计算三大法：①直角坐标："先一后二"（投影法，z 从下曲面到上曲面）与"先二后二"（截面法，被积函数只含 z 或截面面积好算时秒用）②柱面坐标（含 x²+y²、z 与圆柱区域：x = r cosθ, y = r sinθ, z = z，dV = r dr dθ dz）③球面坐标（含 x²+y²+z²、球锥区域：x = r sinφcosθ…，dV = r²sinφ dr dφ dθ）。换元法（了解）。

应用：体积、质量、质心、转动惯量。

二、第一型曲线/曲面积分（对弧长、对面积）

∫Lf ds 与 ∬Σf dS：无方向性，恒有 f ≥ 0 时即"质量"。计算：ds = √(1+y′²)dx / √(x′²+y′²)dt；曲面上 dS = √(1+z′ₓ²+z′ᵧ²) dxdy。

对称性、轮换对称性常用；代入曲线/曲面方程化为一重/二重积分。

三、第二型曲线积分（对坐标）——重难点①

∫LPdx + Qdy：有方向，反方向变号。物理意义：变力沿曲线做功。

计算：代入曲线参数方程化为定积分（起点对应下限！）；两类关系 ∫Pdx+Qdy = ∫(P cosα + Q cosβ)ds。

格林公式：∮LPdx + Qdy = ∬D(∂Q/∂x − ∂P/∂y)dxdy（L 取正向、闭曲线、P Q 有连续偏导）。挖洞法处理非闭/内部含奇点。

平面曲线积分与路径无关四个等价条件（单连通域内 P、Q 一阶偏导连续）：∂Q/∂x = ∂P/∂y；此时存在原函数 u，du = Pdx+Qdy，u 可由折线法求出。

四、第二型曲面积分（对坐标）——重难点②

∬ΣR dydz + P dzdx + Q dxdy：有侧（内侧/外侧、上侧/下侧），换侧变号。

计算：一投二代三符号（投影到坐标面，被积式中用曲面方程代入，按侧定符号）；两类曲面积分关系：∬R dydz + … = ∬(P cosα + Q cosβ + R cosγ)dS。

五、高斯公式与斯托克斯公式——重难点④⑤

高斯公式：∮∮Σ外侧P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∭Ω(∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z)dV（P Q R 一阶偏导连续；Σ 取外侧）。非闭曲面：补面法（补平封面再用）；散度 div = 偏导和。

斯托克斯公式：∮LPdx + Qdy + Rdz = ∬Σ 行列式（∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z 与 P, Q, R 混合偏导），L 的方向与 Σ 的侧符合右手规则；旋度 rot A 由同一行列式给出。

易错点

：球面坐标 dV = r²sinφ dr dφ dθ 的 sinφ；第二型积分代入曲面方程后再投影；格林/高斯公式的"正向/外侧"与"非闭补面"；路径无关的四等价条件必须单连通域；斯托克斯行列式中 z 行偏导符号排列。