多元函数积分学的预备知识（仅数学一）

本讲定位：多元函数积分学的预备知识（仅数学一）。考题：空间曲线与曲面方程、曲线切线与法平面、曲面切平面与法线，散度与旋度、方向导数与梯度（选择、填空）。重难点：空间曲线与曲面方程的求解。

一、向量代数

• 向量表示：坐标式、模 |a| = √(aₓ²+aᵧ²+a_z²)、方向角与方向余弦（cos α, cos β, cos γ 且平方和为 1）。

• 数量积 a·b = |a||b|cos θ = aₓbₓ+aᵧbᵧ+a_z b_z：判垂直、求夹角、投影 a·b/|b|。

• 向量积 a×b（叉乘）：|a×b| = |a||b|sin θ = 以 a、b 为邻边的平行四边形面积；方向右手定则（垂直 a、b 所在平面）；判平行（共线）、求法向量；坐标计算用行列式。a×b = −b×a。

• 混合积 (a×b)·c = |a b c|（行列式）：> 0 右手系，< 0 左手系；= 0 共面。

二、空间平面与直线

• 平面方程：一般式 Ax+By+Cz+D = 0（法向量 n = (A,B,C)）；点法式 n·(r−r₀) = 0；三点式；截距式；平面束方程（过定直线 L 的所有平面 Ax+By+Cz+D + λ(A′x+B′y+C′z+D′) = 0）。

• 直线方程：一般式（两平面交线）；点向式（对称式）(x−x₀)/m = (y−y₀)/n = (z−z₀)/p（方向向量 s）；参数式；两点式。

• 位置关系：夹角用 n₁·n₂、s₁·s₂；点到平面距离 |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)。

三、曲面与空间曲线

• 旋转曲面：坐标面上的曲线绕坐标轴旋转——方程中"绕哪个轴哪个变量不动，另一变量换成 ±√(平方和)"（如 xOy 面曲线 f(x,y) = 0 绕 x 轴：f(x, ±√(y²+z²)) = 0）。

• 柱面：缺哪个变量母线平行哪个轴；常见二次曲面：椭球面、抛物面、双曲面、锥面（会用截痕法识别）。

• 空间曲线：参数式或两曲面交线（一般式）；曲线在坐标面上的投影：消元得投影柱面 + 坐标面方程。

四、多元微分学在几何上的应用

• 空间曲线 Γ：x = x(t), y = y(t), z = z(t) 在 t₀ 处——切向量 T = (x′,y′,z′)；切线方程与法平面方程随之可写。

• 曲面 F(x,y,z) = 0 在点处——法向量 n = (F′ₓ, F′ᵧ, F′_z)；切平面方程 n·(r−r₀) = 0，法线随之；z = f(x,y) 形式时 n = (f′ₓ, f′ᵧ, −1)。

• 方向导数：∂f/∂l = f′ₓcos α + f′ᵧcos β + f′_zcos γ（l 的方向余弦）；

• 梯度 grad f = (f′ₓ, f′ᵧ, f′_z)：方向导数 = 梯度·方向余弦，梯度的方向 = 方向导数最大的方向，|grad f| = 最大变化率。

• 散度 div A = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z（高斯公式的核心）；旋度 rot A（斯托克斯公式的核心）。