⚡ 核心公式速览
对偶律（德·摩根）：$$\overline{A \cup B} = \bar{A}\bar{B}, \qquad \overline{AB} = \bar{A} \cup \bar{B}$$
减法与加法公式：$$P(A - B) = P(A) - P(AB); \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$
古典概型：$$P(A) = \frac{\text{有利样本点数}}{\text{总样本点数}}$$
条件概率与乘法公式：$$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}; \qquad P(AB) = P(A)P(B|A)$$
全概率公式与贝叶斯公式：$$P(A) = \sum_i P(B_i)P(A|B_i); \qquad P(B_i|A) = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_j P(B_j)P(A|B_j)}$$
独立性与 n 重伯努利：$$P(AB) = P(A)P(B); \qquad P(\text{恰好 } k \text{ 次}) = C_n^k \, p^k (1 - p)^{n - k}$$
本讲定位：概率论的地基。考题：约 5 分选择题，集中在"怎么求一个复杂事件的概率"。全书分解思想贯穿始终。
一、随机试验、随机事件与样本空间
- 随机试验：可重复、结果不止一个、事先无法确定（深刻认识：单次不可预测，大量重复呈现规律性）。
- 样本点 ω、样本空间 Ω；随机事件 A 是 Ω 的子集；必然事件 Ω、不可能事件 ∅。
二、事件的关系与运算
- 包含 A ⊂ B、相等 A = B、积（交）AB、和（并）A∪B、差 A−B、互斥 AB = ∅、对立 A∪B = Ω 且 AB = ∅（Ā = Ω − A）。
- 运算规律：交换、结合、分配（AB∪AC = A(B∪C)）；对偶律（德·摩根）：AB̄ = Ā∪B̄，A∪B̄ = ĀB̄——口诀"长杠变短杠，开口换方向"。
- 运算顺序约定：先交运算，后并运算，最后差并运算；用集合关系对比记忆。
三、概率的定义与性质
- 描述性定义（可能性大小）、统计性定义（频率稳定于 p）。
- 公理化定义：P(Ω) = 1，非负性，可列可加性。性质：P(Ā) = 1 − P(A)；单调性；P(A−B) = P(A) − P(AB)；P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(AB)；三事件加法公式；有限个互斥事件和的概率 = 概率之和。
四、两大概型
- 古典概型：有限个样本点且等可能，P(A) = 有利样本点数/总样本点数（排队、摸球、分房等经典模型）。
- 几何概型：样本空间为区域（线段/平面/空间），P(A) = 测度比。
五、条件概率与乘法公式
- P(A|B) = P(AB)/P(B)（P(B) > 0）；条件概率满足概率的全部性质；乘法公式 P(AB) = P(A)P(B|A)（可推广到 n 个事件）。
六、全概率公式与贝叶斯公式（本讲王牌）
- 全概率公式：P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)——"由因求果"；贝叶斯公式：P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)/ΣP(Bⱼ)P(A|Bⱼ)——"执果溯因"（后验概率）。
七、独立性
- P(AB) = P(A)P(B)；A 与 B 独立 ⟹ A 与 B̄、Ā 与 B、Ā 与 B̄ 都独立；三事件独立需两两独立 + P(ABC) = P(A)P(B)P(C)（两两独立推不出整体独立）；n 重伯努利概型：P(恰好k次) = C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k}。
易错点
：互斥与独立完全是两码事（独立是概率关系，互斥是事件关系）；P(A−B) ≠ P(A) − P(B)（要减 P(AB)）；条件概率里"样本空间缩小了"；全概率公式找完备事件组别漏情况。