本讲为零基础直观课，无核心公式；重点是下面这张"全景图"：
$$\text{向量（对象）} \;\xrightarrow{\text{拼成}}\; \text{矩阵（工具）} \;\xrightarrow{\text{作用}}\; \text{线性变换} \;\xrightarrow{\text{检查}}\; \text{秩与行列式}$$
线性代数分册共 6 讲，分三大版块递进：
一句话理解线性代数：它是一种代数结构，向量空间是这个结构的基石，我们在向量空间中研究向量与向量的关系。
定义：拼在一起的有序数组，如 \([-1, 1]\)。维数：向量中数的个数，\([-1,1]\) 是 2 维向量。
数据可以表达信息：假设某人对运动和音乐的兴趣程度分为不喜欢、无所谓和喜欢（用 −1、0、1 表示），则其兴趣画像可用向量表达：
$$[\text{运动兴趣程度}，\ \text{音乐兴趣程度}]$$
如 \([-1,1]\) 代表"不喜欢运动、喜欢音乐"。
矩阵表达系统信息：如两个系别男女对比的数表
$$\begin{bmatrix} 2 & 95 \\ 98 & 5 \end{bmatrix}_{2 \times 2}$$
第 1 列表达英语系的男、女生人数，第 1 行表达男、女生人数——这是考生对矩阵的初步认识：表达系统信息。
取 1000 个随机点模拟 \(\int_0^1 f(x)dx\)：数 \(f(x)\) 下方的点数 ÷ 总点数 ≈ 面积——蒙特卡洛数值模拟。
数据要求服从某种规律、可能涉及矩阵与数据之间的关系时，就要找这个关系。Gram 矩阵是最简单的矩阵：已知 \(A = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \alpha\)，作转置 \(A' = [a, b] = \alpha^T\)，则
$$A^T A = [a, b]\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = a^T \cdot a = \|\alpha\|^2 = \|a\|^2\|a\|\cos\theta$$
数据分析中坐标轴只能表示 2、3 维向量，实际数据往往超过 2、3、4 维——通过转置相乘，把向量模长拉长，就可以直接找到向量之间相似度的一个矩阵，从而很好地分析出来。
带着"向量（对象）—矩阵（工具）—线性变换（作用）—秩（关系）"的画面感进入第 1 讲，后面的抽象定义就都有了直观锚点。正交矩阵 = 旋转、三角矩阵 = 切变形、A±B = 数据平移。