行列式

\(D_n \neq 0 \iff\) 行向量组线性无关（体积非零）；\(D_n = 0 \iff\) 行向量组线性相关（图形降维）。行列式是矩阵 A 这个线性变换的"度量伸缩倍率"。

2. 逆序数定义（代数）

行标取自然排列，按列标的全部排列求和：

$$|A| = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}$$

每一项取自不同行、不同列；正负号由列标排列的逆序数 \(\tau\) 决定（奇排列取负、偶排列取正）。逆序：排在前面的数大于后面的数，一个排列的逆序总数记作 \(r(j_1j_2\cdots j_n)\)。

注意：1 阶行列式 \(|a| = a\) 本身可正可负，与绝对值区分；\( |-2|_1 = -2 \)。

3. 展开定理（降阶）

余子式 \(M_{ij}\)：划去第 i 行第 j 列后的 n−1 阶行列式（位置不动）；代数余子式 \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)。

$$|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \quad (i = 1,2,\cdots,n)$$

策略：找 0 最多的行（列）展开，每展开一次降一阶（1 个 3 阶 = 3 个 2 阶）。

二、七大性质

• 转置不变：\(A^T=A,\ |A^T|=|A|\)——行上成立的性质列上也成立。

• 某行（列）元素全为 0 ⟹ 行列式为 0（n 维空间降维，量不出低维度量）。

• 倍乘：某行公因子 k 可提到外面；只提到某一行（列）。注意 \(|kA| = k^n|A|\) 与 \(k|A|\) 的区别（倍乘整体与倍乘一行的对比：几何上面积扩大 3 倍 ≠ 体积扩大 3³ 倍）。

• 单行可拆：某行元素均为两数之和，可拆成两个行列式之和（正用拆行，逆用合并）；|A+B| ≠ |A|+|B|。

• 互换两行（列）变号；互换 n 次 \(= (-1)^n|A|\)。

• 两行（列）相等或对应成比例 ⟹ 行列式为 0（两个向量重合，构不成平行四边形）。

• 倍加：某行的 k 倍加到另一行，行列式不变（化 0 神器，"倍加"性质）。

三、几个重要的行列式（"12+1"型）

• 主对角线及上（下）三角行列式：\(= a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} = \prod_{i=1}^n a_{ii}\)。

• 副对角线行列式：\(= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}\)（提到主对角线需换 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 次）。

• 拉普拉斯展开式：\(A\) 为 m 阶、\(B\) 为 n 阶时

$$\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B|, \qquad \begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|$$

• 范德蒙德行列式：\(\begin{vmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & \cdots & x_n \\ \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n}(x_j - x_i)\)（记忆：归着第 2 行，后项减前项）。

四、计算方法（套路总结）

• 化为基本形：爪形 / 箭形行列式——用第 1 行（列）倍加消"爪"，化成上三角；"行和相等"型——把各行倍加到第 1 行提出公因式（如 \((a+b+c)\)）再化三角。

• 递推法：建立 \(D_n\) 与 \(D_{n-1}\)（或 \(D_{n-2}\)）的关系式，如三对角型 \(D_n = (-1)^{n+1}a + D_{n-1}\)；也可由 n = 1, 2 算出前几项归纳。

• 公式化：识别范德蒙德型；同特征加边型 \(\begin{vmatrix} \lambda-a & b & \cdots \end{vmatrix}\) 类结果为 \([\lambda+(n-1)b](\lambda-b)^{n-1}\)。

• 抽象型：利用单列可拆 + 交换变号凑已知行列式，如

$$\left|\alpha_1+\beta_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ \alpha_4\right| = \left|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\right| + \left|\beta_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\right|$$ 再通过交换列把 \(\beta\) 挪位；\(n\) 阶交换 \(n\) 次 = \((-1)^n\)。

• 有规律找规律得公式；无规律最多算到 3~4 阶，化为"12+1"型即可，不必背公式。

五、余子式与代数余子式的进阶结论

• \(A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\)，且 \(M_{ij} = (-1)^{i+j}A_{ij}\)。

• 异乘变零：\(\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = 0\ (i \neq k)\)——某行元素乘另一行对应元素的代数余子式之和恒为零。

• 任意常数的代数余子式线性组合：把 \(a_1,\cdots,a_n\) 替换到第 i 行构造新行列式求值（合并同类项思想）；如伴随矩阵主对角线之和 \(\sum A_{ii} =\) 主对角线位置子式之和。

六、克拉默法则

• 前提：n 个方程 n 个未知数的非齐次线性方程组。系数行列式 \(D = |A| \neq 0\) ⟹ 有唯一解

$$x_i = \frac{D_i}{D}, \quad i = 1,2,\cdots,n$$ 其中 \(D_i\) 是把常数项 \(b_1,\cdots,b_n\) 替换 D 中第 i 列所得行列式。

• 若 \(D = 0\)，则非齐次方程组无解或有无穷多解（哪种情形由第 4 讲判定）。

• 齐次方程组：\(D \neq 0\) ⟹ 只有零解；\(D = 0\) ⟹ 有非零解。