⚡ 核心公式速览
二次型的矩阵：$$f(x) = x^T A x \quad (A^T = A, \ a_{ij} = \tfrac{1}{2} \times \text{交叉项系数})$$
正交变换化标准形：$$x = Q y \implies f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2$$
合同：$$B = C^T A C \ (C \text{ 可逆}) \implies \text{正、负惯性指数不变（惯性定理）}$$
正定的充要条件：$$\text{顺序主子式全} > 0 \iff \lambda_i > 0 \ (\forall i) \iff p = n \iff A \simeq E$$
正定的必要条件：$$a_{ii} > 0, \qquad |A| > 0$$
本讲地位：特征值理论（第5讲）的直接应用。将相似对角化"用在刀刃上"——化二次型为标准形，核心议题是"标准形、规范形"与"正定判定"。考研大题常客：正交变换化标准形 + 正定性证明。
一、二次型及其矩阵表示
- n 元二次齐次多项式 f(x) = xᵀAx，其中 A 对称（Aᵀ = A）：对角线元素 aᵢᵢ = xᵢ² 系数，非对角 aᵢⱼ = aⱼᵢ = 交叉项 xᵢxⱼ 系数的一半（交叉项写在两处再各取一半）。
- f 与对称矩阵 A 一一对应；r(f) = r(A)。
二、化标准形与规范形（本讲核心）
- 配方法：含平方项——把含 xᵢ 的项全部配进完全平方，逐变量消元；无平方项——先做可逆线性变换（x₁ = y₁+y₂, x₂ = y₁−y₂,…）"造"出平方项再配。任何二次型都可用配方法化成标准形，且变换可逆。
- 正交变换法（考试主流）：①写对称矩阵 A ②求特征值 λᵢ 与特征向量 ③不同特征值的向量已正交，重根的特征向量 Schmidt 正交化 ④单位化拼 Q ⑤x = Qy ⟹ f = λ₁y₁²+…+λₙyₙ²（标准形系数 = 特征值）。正交变换保持向量长度与图形不变。
- 合同：B = CᵀAC（C 可逆）称 A 与 B 合同；合同必保持对称性；惯性定理：合同变换不改变正、负惯性指数（规范形 d₁y₁²+…+dₚyₚ²−d_{p+1}y²… 唯一，正负个数确定）。
- 规范形：系数只取 1、−1、0；两个对称矩阵合同 ⟺ 正、负惯性指数对应相同。
三、正定二次型与正定矩阵
- 定义：∀x ≠ 0，f(x) = xᵀAx > 0（A 必为对称矩阵）。
- 充要条件（任一）：顺序主子式全 > 0；特征值全 > 0；正惯性指数 p = n；A 与 E 合同；存在可逆 C 使 A = CᵀC。
- 必要条件：aᵢᵢ > 0；|A| > 0（可用于快速排除）。
- 判定套路：抽象型用定义（配方法证 xᵀAx > 0）或特征值；具体数值型用顺序主子式。
- 几何：二元正定 ⟹ 开口向上的椭圆抛物线（z = 1 截口为椭圆）。
易错点
：交叉项系数除以 2 再写进 A（最容易错）；正交变换化标准形时 Q 的列与 λ 顺序对应；配方法得到的变换一般不是正交变换（标准形系数≠特征值）；正定前提必须 A 对称；|A| > 0 只是必要条件不充分。