⚡ 核心公式速览
定义：$$A \xi = \lambda \xi \ (\xi \neq 0), \qquad |\lambda E - A| = 0$$
两条硬性质：$$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \qquad \prod_{i=1}^{n} \lambda_i = |A|$$
特征值迁移表：$$A \to \lambda; \quad A^{-1} \to \frac{1}{\lambda}; \quad A^* \to \frac{|A|}{\lambda}; \quad A^k \to \lambda^k; \quad f(A) \to f(\lambda)$$
相似的定义与不变量：$$P^{-1} A P = B \implies r(A) = r(B), \quad \operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(B), \quad |\lambda E - A| = |\lambda E - B|$$
可对角化充要条件：$$n - r(\lambda_i E - A) = k_i \quad (\text{每个 } k_i \text{ 重特征值})$$
实对称矩阵：$$Q^{-1} A Q = Q^T A Q = \Lambda \quad (Q \text{ 为正交矩阵})$$
求 A 的 n 次幂：$$A^n = P \Lambda^n P^{-1}$$
本讲地位：线性代数的"应用版块"顶梁柱，考研必出大题（相似对角化 + 求参数 + 求Aⁿ），与二次型（第6讲）直接衔接。最重要的就是"求特征值、特征向量"。
一、特征值与特征向量
- 定义：Aξ = λξ（ξ ≠ 0）。特征矩阵 λE−A；特征多项式 f(λ) = |λE−A|；特征方程 |λE−A| = 0。
- 求法：①解特征方程得 λ（f(λ) 是 n 次多项式，根即特征值）②对每个 λ 解 (λE−A)x = 0 得特征向量（非零解）。
- 两条硬性质：Σλᵢ = tr(A)（迹）；∏λᵢ = |A|。因此 A 可逆 ⟺ 无零特征值；0 是特征值 ⟺ |A| = 0 ⟺ Ax = 0 有非零解。
- 不同特征值的特征向量线性无关；k 重特征值至多有 k 个线性无关的特征向量。
- 特征值迁移表（ξ 不变）：A → λ；A⁻¹ → 1/λ；A* → |A|/λ；Aᵏ → λᵏ；f(A) → f(λ)；Aᵀ → 同 λ。
- 常用"秒杀"结论：A² = A（幂等）⟹ λ = 0 或 1；A² = E（对合）⟹ λ = ±1；每行元素之和为 k ⟹ k 是特征值（特征向量 [1,1,…,1]ᵀ）；r(A) = 1 时 λ₁ = tr(A)，其余为 0。
二、相似矩阵
- 定义：P⁻¹AP = B，记 A ~ B（P 可逆）。相似 ⟹ 等秩、同特征多项式（⟹ 同特征值）、同行列式、同迹。
- 传递性：A ~ B，B ~ C ⟹ A ~ C；A ~ B ⟹ f(A) ~ f(B)。
- A ~ Λ 的含义：A 有 n 个线性无关的特征向量，P 的列即特征向量，Λ 对角线即对应特征值。
三、相似对角化
- 充要条件：A 可对角化 ⟺ 对每个 kᵢ 重特征值 λᵢ，n − r(λᵢE − A) = kᵢ（线性无关特征向量个数 = 重数）。
- 充分条件：n 个互异特征值（必可对角化）；实对称矩阵必可（正交）对角化。
- 不可对角化的典型：λ 是 k 重根但 r(λE−A) 相关方程解出来只有 1 个无关向量（几何重数 < 代数重数）。
- 基本步骤：①求 λ ②求特征向量 ③判可对角化 ④拼 P、写 Λ ⑤求 Aⁿ = PΛⁿP⁻¹、f(A) 同理。
- 反求参数：用 Σλᵢ = tr(A)、∏λᵢ = |A|，以及"单侧可对角化"条件列方程。
四、实对称矩阵
- 实对称矩阵特征值全为实数；不同特征值的特征向量自动正交；必可相似对角化，且存在正交矩阵 Q 使 Q⁻¹AQ = QᵀAQ = Λ（求 Q：特征向量 Schmidt 正交化 + 单位化）。
易错点
：特征向量必须非零；ξ 与 kξ（k≠0）是同一特征值的特征向量，但不同特征值的特征向量相加不再是特征向量；相似不一定可对角化；P 中特征向量顺序必须与 Λ 对角线特征值顺序对应；"特征值相同"推不出"相似"。