⚡ 核心公式速览
导数定义（三形式）：$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
关系链：$$\text{可导} \implies \text{连续} \implies \lim_{x \to x_0} f(x) \text{ 存在}； \qquad \text{可导} \iff \text{可微（一元）}$$
微分：$$dy = f'(x_0)\,dx$$
切线与法线：$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0); \qquad y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$$
莱布尼茨公式：$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \, u^{(n-k)} v^{(k)}$$
本讲定位：微分学概念讲，考研题型：选择、填空题。重难点：高阶导数的计算；导数几何意义的应用；可导充要条件的应用。概念辨析是重灾区：可导、可微、连续、极限存在的关系必须门儿清。
一、导数的定义（三种等价形式，必须秒懂）
- f′(x₀) = limΔx→0 [f(x₀+Δx) − f(x₀)]/Δx = limh→0 [f(x₀+h) − f(x₀)]/h = limx→x₀ [f(x) − f(x₀)]/(x − x₀)。
- 推广形式（常考）：lim [f(x₀ + g(h)) − f(x₀)]/□，认准"增量 ÷ 自变量增量"的结构，缺项乘除补项。
- 左右导数：f′₊(x₀) = limx→x₀⁺…；f′(x₀) 存在 ⟺ 左右导数存在且相等。
二、可导、连续、极限、可微的关系（选择题主战场）
- 可导 ⟹ 连续；不连续 ⟹ 不可导；连续 ⇏ 可导（反例 |x| 在 0：连续但不可导）。
- 一元函数：可导 ⟺ 可微（dy = f′(x₀)dx）。
- |x|、x^(1/3) 在 0 处、分段函数分界点：用左右导数判。
三、导数的几何意义
- f′(x₀) = 切线斜率；切线 y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)；法线 y − f(x₀) = −(1/f′(x₀))(x − x₀)（f′(x₀) ≠ 0）。
- 切线与法线的应用：相切、公切线问题；导数几何意义反求参数（分段函数在分界点可导 ⟹ 左右导数相等且 = 函数值处导数）。
四、求导法则（速记）
- 四则：和差积商；(uv)′ = u′v + uv′；(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²。
- 复合：链式法则，由外往内逐层求导；反函数求导：dy/dx = 1/(dx/dy)；隐函数：两边对 x 求导（y 是 x 的函数）；参数方程：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)，二阶 d²y/dx² = d(dy/dx)/dt ÷ (dx/dt)。
- 对数求导法：幂指函数 u(x)^{v(x)} = e^{v ln u} 或两边取对数。
- 高阶导数：莱布尼茨公式 (uv)⁽ⁿ⁾ = Σ C(n,k) u⁽ⁿ⁻ᵏ⁾v⁽ᵏ⁾；常用公式（(sin x)⁽ⁿ⁾、(eˣ)⁽ⁿ⁾、1/(1−x) 等）；泰勒展开系数法 f⁽ⁿ⁾(x₀) = n!·aₙ；归纳法（找规律）。
易错点
：f′(x₀) 存在 ⇏ f′(x) 在邻域连续；绝对值函数分界点用左右导数；导数定义中 Δx 与 x−x₀ 的形式辨认；f(x₀+h) − f(x₀−h)/(2h) 型极限存在只推出"对称可导"；微分 dy 与 Δy 的关系（dy 是线性主部）。