⚡ 核心公式速览
参数方程求导：$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(dy/dx)/dt}{dx/dt}$$
隐函数求导：$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x'}{F_y'}$$
幂指函数：$$u^v = e^{v \ln u}$$
反函数二阶导：$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(dx/dy)''}{(dx/dy)^3}$$
泰勒系数法求高阶导：$$f^{(n)}(x_0) = n! \cdot a_n$$
本讲定位：纯计算讲。上一讲概念，这一讲计算——要学到熟练准确地计算。重难点：复合函数求导；分段函数求导；隐函数求导。
一、基本求导公式（熟记于心，倒背如流）
- (xᵃ)′ = ax^{a−1}；(aˣ)′ = aˣln a（(eˣ)′ = eˣ）；(logax)′ = 1/(xln a)（(ln x)′ = 1/x）；(sin x)′ = cos x；(cos x)′ = −sin x；(tan x)′ = sec²x；(cot x)′ = −csc²x；(sec x)′ = sec x·tan x；(csc x)′ = −csc x·cot x；(arcsin x)′ = 1/√(1−x²)；(arccos x)′ = 负的它；(arctan x)′ = 1/(1+x²)；(arccot x)′ = 负的它。
二、求导法则
- 四则与复合：链式法则由外往内；微分形式不变性：无论 u 是自变量还是中间变量，dy = f′(u)du 都成立（换元不换形式）。
- 分段函数求导：分段点用定义求左右导数（左右表达式、函数值代入各段）；非分段点用公式。
- 隐函数求导：F(x,y) = 0 两边对 x 求导（y 视为 x 的函数）；或用公式 dy/dx = −F′ₓ/F′ᵧ。
- 参数方程求导：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)；二阶 d²y/dx² = [d/dt(dy/dx)]/(dx/dt)。
- 反函数求导：dy/dx = 1/(dx/dy)；d²y/dx² = −(dx/dy)″/(dx/dy)³（负号立方易忘）。
- 幂指函数与对数求导法：u(x)^{v(x)} = e^{v·lnu} 再求导；多项连乘除、开方用取对数化简。
三、高阶导数三大方法
- 归纳法：先求一、二、三阶，发现规律后写通式（(sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x + nπ/2)，(1/(x+a))⁽ⁿ⁾ = (−1)ⁿn!/(x+a)^{n+1} 等）。
- 莱布尼茨公式：(uv)⁽ⁿ⁾ = Σ C(n,k)u⁽ⁿ⁻ᵏ⁾v⁽ᵏ⁾（u 或 v 是低次多项式时项自动消失，常配 x² 型）。
- 泰勒展开法：f⁽ⁿ⁾(x₀) = n!·aₙ，其中 aₙ 是 f(x) 泰勒展开中 (x−x₀)ⁿ 的系数（求 f⁽ⁿ⁾(0) 神器：如 f(x) = 1/(1−x) 用等比展开）。
易错点
：复合函数漏层；参数方程二阶忘除 dx/dt；分段点求导必须用定义（公式只保证段内）；幂指函数直接用指数法则；|A| 型绝对值函数按区间讨论。