⚡ 核心公式速览
极值必要条件：$$f'(x_0) = 0 \quad (\text{驻点；不可导点也可能是极值点})$$
第一充分条件：$$f' \text{ 在 } x_0 \text{ 两侧变号：左正右负} \to \text{极大}； \text{左负右正} \to \text{极小}$$
第二充分条件：$$f'(x_0) = 0, \ f''(x_0) 0 \implies \text{极小}$$
凹凸与拐点：$$f''(x) > 0 \implies \text{凹}; \quad f''(x) < 0 \implies \text{凸}; \quad \text{拐点} = \text{凹凸改变的点 } (x_0, f(x_0))$$
渐近线：$$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - kx] \implies y = kx + b$$
曲率（数一数二）：$$K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}}, \qquad \rho = \frac{1}{K}$$
本讲定位：用导数画函数图像、研究函数性态。考题：极值点与单调性、拐点与凹凸性、最值、渐近线的分析。重难点：极值点的判别；拐点的判别。（数一数二另考曲率）
一、单调性与极值
- 单调判别：f′(x) > 0（< 0）⟹ 单调增（减）；个别孤立点导数为 0 不影响单调性。
- 极值的必要条件：x₀ 是极值点且 f 可导 ⟹ f′(x₀) = 0（驻点）。注意：极值点也可能是不可导点（如 |x| 在 0）。
- 判别极值第一充分条件：f′ 在 x₀ 两侧变号——左正右负为极大，左负右正为极小。
- 第二充分条件：f′(x₀) = 0 且 f″(x₀) < 0 ⟹ 极大；f″(x₀) > 0 ⟹ 极小（f″(x₀) = 0 时失效，退回第一充分条件）。
- 第三充分条件（了解）：f″、f‴ 直至 n−1 阶导为零，n 阶导不为零，n 为奇数时为极值点。
- 求极值标准流程：求定义域 → 求 f′、驻点与不可导点 → 列表判符号（或二阶）。
二、最值
- 闭区间 [a,b] 上：比较驻点、不可导点、区间端点处的函数值取最值。实际问题：唯一极值点即最值点。
三、凹凸性与拐点
- 凹凸性定义（几何版）：凹（下凸）——弦在曲线上方；判定：f″(x) > 0 凹，f″(x) < 0 凸。
- 拐点：凹凸性发生改变的点 (x₀, f(x₀))——是曲线上的点，不是 x₀！判别：f″(x₀) = 0（或不可导）且两侧 f″ 变号（第一充分条件）；f‴(x₀) ≠ 0 且 f″(x₀) = 0（第二充分条件）。
- 注意：极值点与拐点不能混谈；f′ 的极值点对应 f 的拐点（若二阶可导）。
四、渐近线
- 水平：lim(x→∞) f(x) = A ⟹ y = A（x → +∞ 与 −∞ 分别讨论，最多两条水平渐近线）。
- 垂直：lim(x→x₀) f(x) = ∞ ⟹ x = x₀（在无定义点或分段点处找）。
- 斜渐近线：lim(x→∞) [f(x) − (kx + b)] = 0，其中 k = lim f(x)/x（≠ 0 且 ≠ ∞），b = lim[f(x) − kx]。同方向上水平与斜渐近线不能同时存在。
五、曲率（数一、数二）
- 曲率 K = |y″| / (1 + y′²)^{3/2}；曲率半径 ρ = 1/K（K = 0 时 ρ = ∞）。曲率圆与曲率中心的概念。
易错点
：驻点不一定是极值点（如 x³ 在 0）；拐点是坐标点不是横坐标；不可导点可能是极值点；极值是局部概念、最值是整体概念；斜渐近线漏求 b 或双向重复算。