⚡ 核心公式速览
费马定理：$$\text{可导的极值点处 } f'(\xi) = 0$$
罗尔定理：$$f(a) = f(b) \implies \exists\, \xi \in (a, b): f'(\xi) = 0$$
拉格朗日中值定理：$$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$$
柯西中值定理：$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$
泰勒公式（拉格朗日余项）：$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$$
积分中值定理：$$\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b - a)$$
辅助函数构造（乘子法）：$$f'(\xi) + f(\xi) = 0 \text{ 型} \implies \mu(x) = e^x; \qquad f'(\xi) = \frac{-f(\xi)}{\xi - a} \text{ 型} \implies \mu(x) = (x - a)$$
本讲地位：微分学证明题的总指挥部——10 大中值定理 + 微分等式与微分不等式。解答题压轴常客，也是最考验"套路储备"的讲。
一、闭区间上连续函数的定理（涉及 f(x)）
- 有界与最值定理：[a,b] 上连续 ⟹ 有界且取到最大值 M、最小值 m。
- 介值定理：连续函数取到 m 与 M 之间的一切值。
- 平均值定理（重要）：连续函数在 [a,b] 上的值介于两端的函数值之间（可推广，常考！）。
- 零点定理：f(a)·f(b) < 0 ⟹ ∃ξ 使 f(ξ) = 0（方程根的存在性）。
二、微分中值定理（涉及导数，共 10 定理的后 6 个）
- 费马定理：可导的极值点处 f′(ξ) = 0（极值必要条件的理论版）。
- 罗尔定理：f(a) = f(b) 且连续可导 ⟹ ∃ξ, f′(ξ) = 0。证明题第一神器，核心是构造辅助函数。
- 拉格朗日中值定理：f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a)（罗尔的推广；双中值问题常用两次或引入 KoR 中值定理）。
- 柯西中值定理：[f(b) − f(a)]/[g(b) − g(a)] = f′(ξ)/g′(ξ)（两函数版拉格朗日）。
- 泰勒公式：带拉格朗日余项的展开（在中值点 ξ 处），n+1 阶可导即可用——"拉格朗日中值定理的高阶版"。
三、涉及积分：积分中值定理
- ∫ₐᵇf(x)dx = f(ξ)(b − a)，ξ ∈ [a,b]（f 连续）；推广版 ξ ∈ (a,b)。常用于"去掉积分号"证明题。
四、微分等式证明题方法论（三步法 + 构造辅助函数）
- ①把要证的等式改写成"某函数的导数 = 0"（罗尔定理形式）；
- ②构造辅助函数：常用乘子法——要证 f′(ξ)f(ξ) + f²(ξ) = 0 类，找乘子 μ(x) 使 μ·(原式)′ 为某乘积的导数（如 μ = eˣ、μ = f、μ = x 等）；常见模型：f′(ξ) = −f(ξ)/(ξ−a) 型构造 (x−a)f(x)、f′(ξ) + f(ξ) = 0 型构造 eˣf(x)、f″ 型构造两次罗尔或泰勒；
- ③验证辅助函数满足罗尔（端点函数值相等），套罗尔得 ξ。
五、微分不等式与双中值问题
- 不等式证明两条路：①用函数性态（单调性/最值）——移项作差设 F(x)，求导定号；②用中值定理（拉格朗日/泰勒）配合微分不等式。
- 双中值问题：分区间 [a,c],[c,b] 两次用拉格朗日，或用柯西中值定理选 g(x) = x²、1/x 等。
- 泰勒在中值 ξ 处展开 + 在端点展开后相加减，是"证 f″(ξ) ≥ k"类题的标准操作。
易错点
：罗尔三条件缺一不可（端点值相等的验证是构造的一部分）；ξ 介于 a 与 b 之间（开区间）；双中值两个 ξ 一般不相等，要写清各自所在区间；辅助函数构造不是凑运气，而是乘子法的系统操作。