⚡ 核心公式速览
物理量（数一数二）：$$v = s'(t), \qquad a = v'(t), \qquad W = \int F(x)\,dx$$
相关变化率（重难点）：对方程两边关于 t 求导：$$\frac{d}{dt}F(x(t), y(t)) = 0 \implies \text{解出未知变化率}$$
经济应用（数三）：$$\text{边际} = C'(x), \quad \text{弹性} = \frac{dQ/Q}{dP/P} = \frac{P}{Q}\cdot\frac{dQ}{dP}, \qquad A = A_0 e^{rn} \text{（连续复利）}$$
本讲定位：微分学应用（三）——物理应用与经济应用。你是数学一：只考「物理应用与相关变化率」（选择、填空、解答）；数三同学考复利与经济应用（边际、弹性）。
一、物理应用（数一、数二）
- 位移对时间的变化率 = 速度 v = s′(t)；速度的变化率 = 加速度 a = v′(t)。
- 常见物理量：力做功 W = ∫F(x)dx；液体静压力（微元 dF = ρg·x·dA）；引力用微元法；细杆/圆盘/弧的质心（形心公式，数一）。
二、相关变化率（数一、数二，本讲重难点）
- 模型：两个变量 x(t)、y(t) 都随 t 变化，且由一个方程联系；已知一个量的变化率求另一个。方法：对方程两边关于 t 求导，代入已知变化率解出未知变化率。
- 经典模型：水面升降（锥形漏斗注水）、梯子下滑、气球上升、影子移动——先列几何关系（相似三角形、勾股、体积公式）再求导，求导前代入数值可以简化运算（按需）。
三、经济应用（仅数三，了解）
- 常见函数：成本 C(x)、收益 R(x) = x·P(x)、利润 L(x) = R(x) − C(x)。
- 边际函数：边际成本 C′(x)、边际收益 R′(x)、边际利润 L′(x)——产量增加一个单位时约变化多少。
- 弹性函数：需求弹性 E = (dQ/Q)/(dP/P) = (P/Q)·(dQ/dP)，|E| > 1 富有弹性，< 1 缺乏弹性；收益与弹性：R′ = R(1 + E)/…（降价促销与收益增减的判别）。
- 复利与连续复利：A = A₀(1+r)ⁿ；连续复利 A = A₀e^{rn}。
易错点
：相关变化率要"先列关系式再求导"，不要先代入具体数值后求导（代入后再求导会把变化的量变成常数）；单位统一；经济函数中"边际"就是导数、"弹性"是相对变化率之比。