⚡ 核心公式速览
原函数存在定理：$$f(x) \text{ 连续} \implies F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \text{ 可导且 } F'(x) = f(x)$$
变限积分求导：$$\frac{d}{dx}\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t)\,dt = f(\varphi_2(x))\,\varphi_2'(x) - f(\varphi_1(x))\,\varphi_1'(x)$$
积分中值定理：$$\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b - a), \quad \xi \in [a, b]$$
p-积分敛散：$$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p} \ (p > 1 \text{ 收敛}); \qquad \int_0^1 \frac{dx}{x^p} \ (p < 1 \text{ 收敛})$$
本讲定位：积分学的概念地基。考题：不定积分、定积分、变限积分、反常积分（选择、填空）。重难点：不定积分和定积分的性质及积分中值定理；变限积分；反常积分敛散性。
一、不定积分
- 原函数：F′(x) = f(x)。原函数存在定理：连续函数必有原函数（变限积分就是一个）。
- 不定积分 ∫f(x)dx = F(x) + C（全体原函数，C 必须写）。
- 基本性质：线性；与求导互逆（∫f′ = f + C，(∫f)′ = f）。
二、定积分
- 定义（黎曼和的极限）：分割、近似、求和、取极限；几何意义 = 曲边梯形面积的代数和。定积分定义求 n 项和极限是重要应用（第 1 讲夹逼的对偶方法）。
- 存在定理：连续必可积；有界且只有有限个间断点可积。
- 重要性质：线性、区间可加、保序性（不等式）、|∫f| ≤ ∫|f|、积分中值定理 ∫ₐᵇf = f(ξ)(b−a)（f 连续；注意 ξ 的存在区间）。
三、变限积分（重中之重）
- F(x) = ∫axf(t)dt；f 连续 ⟹ F′(x) = f(x)（原函数存在定理）。
- 一般变限求导公式：d/dx ∫φ₁(x)φ₂(x)f(t)dt = f(φ₂(x))·φ₂′(x) − f(φ₁(x))·φ₁′(x)（下限为函数时变号并乘导数；被积函数含 x 时先换元提出）。
- 变限积分必连续；若 f 连续则可导；f 只有跳跃间断时变限积分在该点连续但不可导。
四、反常积分
- 两类：无穷区间反常积分（∫ₐ^{+∞}）、瑕积分（无界函数，瑕点处取极限）。
- 敛散判别：直接用定义算极限；常用结论 p-积分：∫₁^{+∞} dx/x^p 在 p > 1 收敛；∫₀¹ dx/x^p 在 p < 1 收敛；对称区间 sin x/x 型收敛。
- 计算：换元后按定积分处理（注意换元时上下限与奇点）。
易错点
：连续才有变限求导定理（间断点处要按定义）；∫f(x)dx 忘写 C；定积分比较定理里 f ≤ g 但反常积分不保序（敛散性另判）；瑕点没找全；换元时忘记换限。