⚡ 核心公式速览
分部积分：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du \quad (\text{选 } u \text{ 口诀：反对幂指三})$$
定积分重要结论：$$\int_{-a}^{a} f = \begin{cases} 2\int_0^a f, & f \text{ 偶} \\ 0, & f \text{ 奇} \end{cases}; \qquad \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} \ (n \text{ 偶})$$
区间再现：$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx$$
周期函数：$$\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx$$
本讲定位：积分计算核心讲。考题：不定积分、定积分、变限积分和反常积分的计算。重难点：不定积分和反常积分的计算；定积分的计算方法；变限积分的计算和结论；有些原函数无法用基本初等函数表示（如 e^{−x²}、sin x/x）。
一、基本积分公式表
- 与求导公式一一对应：∫xᵃdx = x^{a+1}/(a+1)+C（a ≠ −1）；∫dx/x = ln|x|+C；∫eˣdx = eˣ+C；∫aˣdx = aˣ/lna+C；∫sin x dx = −cos x+C；∫cos x dx = sin x+C；∫sec²x dx = tan x+C；∫dx/(1+x²) = arctan x+C；∫dx/√(1−x²) = arcsin x+C；∫dx/(1−x²) = (1/2)ln|(1+x)/(1−x)|+C。
二、不定积分四大方法
- 凑微分法（第一类换元）：∫f(φ(x))φ′(x)dx = ∫f(φ(x))dφ(x)。常用凑法：x dx = ½d(x²)、dx/x = d(ln x)、eˣdx = d(eˣ)、dx/√x = 2d(√x)、dx/(1+x²) = d(arctan x)。
- 换元法（第二类）：三角换元（√(a²−x²)→x = a sin t；√(a²+x²)→x = a tan t；√(x²−a²)→x = a sec t）；根式换元 t = ⁿ√(ax+b)；倒代换 x = 1/t。
- 分部积分法：∫udv = uv − ∫vdu。选 u 口诀"反对幂指三"（排在前面的作 u）。循环积分（∫eˣsin x）移项解方程。
- 有理函数积分：部分分式法（真分式拆成最简分式之和）；假分式先多项式除法。
三、定积分与反常积分的计算
- 重要结论（必须熟记）：∫₋ₐᵃf = 0（奇）、= 2∫₀ᵃf（偶）；∫₀^{π/2} sinⁿx dx = ∫₀^{π/2} cosⁿx dx = (n−1)!!/n!!·(π/2)（n 为偶时乘 π/2）；周期函数积分 ∫ₐ^{a+T} = ∫₀^T；∫₀^π x f(sin x)dx = (π/2)∫₀^π f(sin x)dx。
- 华里士公式、区间再现（x → a+b−x）是定积分计算的两大杀器。
四、变限积分的计算与结论
- 变限求导公式；∫ₐˣ f(t)dt 与 f(x) 的关系网络（连续/间断/可导的相互判定）。
- ∫₀ˣ f(t)dt 的奇偶性：f 奇 ⟹ F 偶；f 偶 ⟹ F 奇（且 F(0) = 0）。
易错点
：分部选 u 顺序错；三角换元忘回代或忘写 C；反常积分瑕点漏判；∫dx/x 的绝对值；定积分换元时上下限没跟着变；周期函数积分区间化简时方向搞反。