平面面积：$$S = \int_a^b [f_{\text{上}}(x) - f_{\text{下}}(x)]\,dx; \qquad S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta \text{（极坐标）}$$
旋转体体积：$$V_x = \pi \int_a^b f^2(x)\,dx; \qquad V_y = 2\pi \int_a^b x \, f(x)\,dx \text{（柱壳法）}$$
弧长与侧面积（数一数二）：$$s = \int \sqrt{1 + y'^2}\,dx; \qquad S_{\text{侧}} = 2\pi \int y \sqrt{1 + y'^2}\,dx$$
平均值与形心：$$\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx; \qquad \bar{x} = \frac{\int x \, f(x)\,dx}{\int f(x)\,dx}$$
本讲定位：定积分应用（一）——几何应用。考题：①平面图形面积、旋转体体积、函数平均值 ②形心坐标、弧长、旋转曲面侧面积（数一、数二）。重难点：平面图形的面积、旋转体的体积。
：上下函数位置画错图；旋转轴分不清绕 x 还是绕 y（或绕直线 y = c 要平移）；柱壳法漏 2πx；极坐标面积忘乘 ½；弧长被积函数 = √(1+y′²) 不要漏根号。