⚡ 核心公式速览
积分不等式五法：单调性、拉格朗日中值定理、泰勒公式、积分保序性、牛顿-莱布尼茨（\(f(x) - f(a) = \int_a^x f'(t)\,dt\) 后放缩）。
变限积分构造辅助函数：$$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt - k(x - a) \text{ 型}$$
本讲定位：定积分应用（二）——积分等式与积分不等式，题型：解答题。重难点：求积分；积分求极限（等式部分常与第 1、8 讲联动）。
一、积分等式
- 积分中值定理证明积分等式（含推广的 ξ ∈ (a,b) 开区间版本，接第 8 讲）。
- 夹逼准则求一类积分极限（结合第 1 讲、定积分定义）。
- 积分法：换元积分法（区间再现 x → a+b−x、周期化）与分部积分法证明对称性、递推类积分等式（如 Iₙ = ∫sinⁿx、∫ln x 与 ∫x ln x 配对）。
二、积分不等式
- 用函数的单调性：作差/作商构造 F(x)（常为变限积分），求导定号——最常用套路。
- 用拉格朗日中值定理：被积函数放缩时对 f 或 f′ 用中值定理。
- 用积分法：比较 f 与 g 在区间上的大小后用保序性；用常数变量替换。
- 用牛顿-莱布尼茨公式：f − f(a) = ∫f′ 再放缩。
三、积分求极限
- n 项和式 → 定积分定义；含变限积分的极限用洛必达（变限求导）；积分中值定理配合夹逼。
易错点
：积分中值定理的 ξ 要说明存在区间；保序性用于反常积分要谨慎；变限积分求导前被积函数含 x 必须先换元；区间再现后符号处理。