⚡ 核心公式速览
物理应用微元法（数一数二）：$$W = \int F(x)\,dx; \qquad dP = \rho g \, h(x) \, dA \text{（静水压力）}; \qquad dF = G\frac{m\,dm}{r^2} \text{（引力）}$$
古鲁金第一定理（数一数二）：$$V = 2\pi \cdot d \cdot S \quad (d = \text{形心到旋转轴距离}, \ S = \text{平面图形面积})$$
经济应用（数三）：$$C(x) = C(0) + \int_0^x C'(t)\,dt$$
本讲定位：定积分应用（三）——物理应用与经济应用。考题：变力沿直线做功、抽水做功、静水压力、引力（数一、数二）。重难点：静水压力的求法（数一、数二）；经济类题目（数三）。
一、物理应用（数一、数二）
- 变力沿直线做功：W = ∫F(x)dx——力随位置变化时取微元 dW = F(x)dx。
- 抽水做功：W = ρg∫x·A(x)dx——把每层水提到顶端做的功叠加（x 为提升高度，A(x) 为该层截面积）；关键是建立"体积微元 × 提升 × ρg"。
- 静水压力（重难点）：dP = ρg·h(x)·dA——深度 h(x) 处的压强乘以该处面积微元；斜置平面按深度积分。
- 引力：细杆/质点间引力用微元法 dF = G·m·dm/r²，注意方向分解（对称性可抵消分量）。
二、古鲁金（Guldin）第一定理（数一、数二）
- "三心"概念：重心、形心、质心。质心/形心坐标公式与力矩计算公式（质量 = 密度×微元，力矩 = 质量×坐标）。
- 古鲁金第一定理：平面图形绕不与其相交的轴旋转所得旋转体体积 = 面积 × 形心走过的周长（V = 2π·d·S）——检验旋转体体积计算的"神搭配"。
三、经济应用（仅数三）
- 由边际函数求总函数：C(x) = C(0) + ∫₀ˣ C′(t)dt；收益、利润同理（用定积分还原总量，注意固定成本）。
- 涉及平均值、边际与需求量关系（与第 7 讲公式处理问题联动）。
易错点
：抽水做功的提升高度要取"该层水到水面的真实距离"；静水压力的深度是到水面的竖直距离；引力要分解方向；古鲁金定理要求旋转轴不穿过图形。