⚡ 核心公式速览
可微定义：$$\Delta z = A\,\Delta x + B\,\Delta y + o(\rho) \implies dz = f_x' \, dx + f_y' \, dy$$
关系链：$$\text{偏导连续} \implies \text{可微} \implies \text{连续 且 偏导存在}$$
隐函数求导：$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x'}{F_z'}$$
无条件极值判别：$$AC - B^2 > 0 \text{ 且 } A > 0 \implies \text{极小}; \quad AC - B^2 < 0 \implies \text{非极值}$$
条件极值（拉格朗日乘数法）：$$L = f(x, y) + \lambda\,\varphi(x, y), \qquad f_x' + \lambda \varphi_x' = 0, \quad f_y' + \lambda \varphi_y' = 0, \quad \varphi = 0$$
本讲定位：多元函数微分学。考题：连续、可微、隐函数存在定理、极值与最值。重难点：①可微的判断 ②条件极值与拉格朗日乘数法。（含二阶泰勒公式，仅数一）
一、基本概念（对比一元学）
- 邻域（圆域）；二重极限：动点 (x,y) 以任意方式趋于点时极限存在——沿不同路径极限不同则极限不存在（最常用判不存在手段）；连续：极限 = 函数值。
- 偏导数：∂z/∂x = 固定 y 对 x 求导（只刻画沿坐标轴方向的变化率）。可微：Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)（ρ 为距离），dz = A dx + B dy。
- 关系网（数一数三重点辨析）：偏导连续 ⟹ 可微 ⟹ 连续 且 偏导存在；连续 ⇏ 偏导存在；偏导存在 ⇏ 连续、⇏ 可微。可微的判断：用定义验证 lim [Δz − (AΔx+BΔy)]/ρ = 0。
- 混合偏导数连续则与求导次序无关（f″ₓᵧ = f″ᵧₓ）。
二、多元微分法则
- 链式求导规则：画"枝形图"，沿线相乘、分线相加（抽象复合函数 f 具有二阶连续偏导数时的 f″₁₁、f″₁₂ 计算）。
- 全微分形式不变性：dz = f′ᵤdu + f′ᵥdv 无论 u、v 是谁。
- 隐函数存在定理：F(x,y,z) = 0 → ∂z/∂x = −F′ₓ/F′_z；方程组情形用隐函数求导或雅可比行列式。
三、极值与最值
- 无条件极值：必要条件 f′ₓ = f′ᵧ = 0（驻点）；判别（二阶）：AC − B² > 0 且 A > 0 极小、A < 0 极大（A = f″ₓₓ, B = f″ₓᵧ, C = f″ᵧᵧ 在驻点处取值）；AC − B² < 0 非极值；= 0 失效另判。
- 条件极值（拉格朗日乘数法）：求 f(x,y) 在 φ(x,y) = 0 下的极值——令 L = f + λφ，解 f′ₓ + λφ′ₓ = 0，f′ᵧ + λφ′ᵧ = 0，φ = 0；实际问题中唯一驻点即所求（比较法确认）。
- 闭区域最值：比较内部驻点值与边界最值（边界可用代入消元或拉格朗日）。
易错点
：用"沿特殊路径极限存在"证明极限存在（只能证不存在）；偏导存在与连续/可微的关系链方向；拉格朗日乘数法忘解方程组里的约束方程；驻点不一定是极值点（必须二阶判别）。