一阶线性通解公式：$$y' + p(x)y = q(x) \implies y = e^{-\int p\,dx}\left[\int q(x)\,e^{\int p\,dx}\,dx + C\right]$$
可降阶两类：$$y'' = f(x, y') \xrightarrow{y' = p(x)} p' = f(x, p); \qquad y'' = f(y, y') \xrightarrow{y' = p(y)} p\frac{dp}{dy} = f(y, p)$$
二阶常系数齐次（特征方程 r² + pr + q = 0）：$$\lambda_1 \neq \lambda_2: y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}; \quad \lambda_1 = \lambda_2: y = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}; \quad \alpha \pm \beta i: y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$$
非齐次特解设定：$$f = e^{\alpha x}P_m(x) \implies y^* = x^k e^{\alpha x} Q_m(x) \quad (k = \alpha \text{ 为特征根的重数})$$
欧拉方程（数一）：$$x^2 y'' + pxy' + qy = f(x) \xrightarrow{x = e^t} \text{常系数线性方程}$$
本讲定位：微分方程。考题覆盖面广：齐次方程、一阶线性、伯努利（数一）、二阶可降阶（数一、数二）、二阶常系数线性、欧拉方程（数一）、几何/物理应用（数一、数二）、经济应用（数三）。重难点：①一阶常系数齐次线性微分方程的求解 ②欧拉方程（数一）。
f 为多项式 → y* = xᵏQₘ(x)（k 为 0 是特征根的重数）； f = e^{αx}Pₘ(x) → y* = xᵏe^{αx}Qₘ(x)； f = e^{αx}[P cos βx + Q sin βx] → y* = xᵏe^{αx}[R₁cos βx + R₂sin βx]（k 按 α±βi 是否为特征根取 0 或 1）； 叠加原理处理和型；同型合并。
：一阶线性公式中 e^{∫p dx} 的符号；可降阶两类代换的区别（p = y′ 还是 p = y′(x)）；特征方程复根时漏 e^{αx}；特解待定系数时 k（重数）判错；应用题忘用初始条件定常数。