⚡ 核心公式速览
正项级数判别：比值（达朗贝尔）$$\lim \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho \begin{cases} 1 \text{ 发散} \end{cases}; \qquad \text{根值（柯西）} \lim \sqrt[n]{u_n} = \rho \text{ 同}$$
交错级数（莱布尼茨）：$$u_n \text{ 单调减} \to 0 \implies \sum (-1)^{n-1} u_n \text{ 收敛}$$
收敛半径：$$R = \lim \left|\frac{u_n}{u_{n+1}}\right| = \lim \frac{1}{\sqrt[n]{|u_n|}}$$
常用展开：$$\frac{1}{1-x} = \sum x^n; \quad e^x = \sum \frac{x^n}{n!}; \quad \sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}; \quad \ln(1+x) = \sum \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$$
傅里叶系数（数一）：$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f\cos nx\,dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f\sin nx\,dx; \quad \text{间断点收敛于 } \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}$$
本讲定位：无穷级数（仅数学一、数学三）。考题：级数敛散性判别、幂级数收敛域、幂级数求和函数、函数展开成幂级数、傅里叶级数（数一）。重难点：①判别敛散性与和函数 ②求幂级数收敛域 ③函数展开成幂级数 ④傅里叶级数（数一）。
一、常数项级数
- 概念：Σuₙ 的部分和 Sₙ 的极限；收敛/发散/收敛域及和的定义。必要条件：uₙ → 0（不充分！）。基本性质：去头去尾、数乘、拆分不改变敛散性。
二、正项级数判别法
- 比较判别法及其极限形式（与 p-级数、几何级数比）；
- 比值判别法（达朗贝尔）：lim uₙ₊₁/uₙ = ρ，ρ < 1 收敛，> 1 发散，= 1 失效；
- 根值判别法（柯西）：lim ⁿ√uₙ = ρ，同上（uₙ 含 n 次幂时好用）；
- 积分判别法：∫f(n) 与 Σf(n) 同敛散（f 单调减正值）。
三、交错级数与任意项级数
- 莱布尼茨判别法：uₙ 单调减且 → 0 ⟹ Σ(−1)ⁿ⁻¹uₙ 收敛。
- 绝对收敛（Σ|uₙ| 收敛）⟹ 原级数收敛；条件收敛（原收敛但绝对发散）；绝对收敛级数可重排，条件收敛级数重排可改变和。
四、幂级数
- 收敛半径 R = lim|uₙ/uₙ₊₁| 或 lim 1/ⁿ√|uₙ|（含缺项/含参幂级数用比值法后取绝对值不等式）；收敛域 = 收敛区间 + 端点单独判别。
- 幂级数性质：收敛区间内绝对收敛；和函数在收敛域内连续；可逐项求导、逐项积分（收敛半径不变，端点重新判）。
- 求和函数套路：先求收敛域 → 逐项求导（有 xⁿ⁻¹ 系数感时）或逐项积分（分母含 n 时）→ 凑成已知和函数 → 还原（注意 x = 0 处单独验证与常数项）。
五、函数展开成幂级数
- 直接法（求 f⁽ⁿ⁾(0)）少用；间接法基于五个标准展开：eˣ = Σxⁿ/n!；sin x = Σ(−1)ⁿx^{2n+1}/(2n+1)!；cos x = Σ(−1)ⁿx^{2n}/(2n)!；1/(1−x) = Σxⁿ（|x| < 1）；ln(1+x) = Σ(−1)^{n−1}xⁿ/n；(1+x)^α 二项级数。用拆、凑、逐项求导/积分迁移。
六、傅里叶级数（数一）
- 系数：aₙ = (1/π)∫₋π^π f cos nx dx，bₙ = (1/π)∫₋π^π f sin nx dx；收敛定理（狄利克雷）：连续点收敛于 f(x)，间断点收敛于 [f(x₀⁻)+f(x₀⁺)]/2。
- 正弦级数（奇延拓）与余弦级数（偶延拓，定义在 [0,π] 的函数）。
易错点
：uₙ → 0 只是必要条件；比值/根值 = 1 时失效要换比较法；幂级数端点必须单独验证收敛域；逐项求导后收敛域不变但端点可能变；和函数定义域要写在最后；傅里叶系数分母 π 别丢。