⚡ 核心公式速览
边缘密度：$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y)\,dy$$
条件密度与独立性：$$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x, y)}{f_Y(y)}; \qquad \text{独立} \iff F(x, y) = F_X(x)F_Y(y)$$
卷积公式（Z = X + Y，独立）：$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)\,f_Y(z - x)\,dx$$
max/min 分布（独立）：$$F_{\max} = F_1 F_2 \cdots F_n; \qquad F_{\min} = 1 - (1 - F_1)(1 - F_2) \cdots (1 - F_n)$$
本讲定位：在二维的基础上升级到多维。考题：5 分小题 / 12 分解答题。核心：联合分布 → 边缘分布 → 条件分布 → 函数的分布。
一、联合分布
- 离散型：联合分布律 P{X = xᵢ, Y = yⱼ} = pᵢⱼ（Σ = 1）。
- 连续型：联合密度 f(x,y)（非负、全平面积分 = 1）；P{(X,Y) ∈ D} = ∬Df dxdy。
- 二维正态分布 N(μ₁,μ₂,σ₁²,σ₂²,ρ)（重要）。
二、边缘分布
- 离散：pᵢ. = Σⱼpᵢⱼ（行和/列和，写在联合分布律的边缘）；连续：f_X(x) = ∫f(x,y)dy。
- 注意：边缘分布不能唯一确定联合分布（要加相关性信息）。
三、条件分布与独立性
- 条件分布：P{X = xᵢ|Y = yⱼ} = pᵢⱼ/p·ⱼ；f_{X|Y}(x|y) = f(x,y)/f_Y(y)。
- 独立性：F(x,y) = F_X(x)·F_Y(y)（等价于联合 = 边缘乘积）。二维正态：独立 ⟺ ρ = 0。
四、两个重要模型
- 均匀分布（平面区域上）：f = 1/S_D（区域面积倒数）。
- 混合模型：一个离散一个连续 → 全概率公式分全事件处理。
五、Z = g(X,Y) 的分布（解答题主战场）
- 连续型：分布函数法（F_Z(z) = ∬_{g≤z} f dxdy 再求导）。
- 重要公式：卷积公式 f_Z(z) = ∫f(x,z−x)dx（Z = X+Y，独立时）；max/min 分布：F_max = F₁·F₂…（独立），F_min = 1 − (1−F₁)(1−F₂)…。
易错点
：边缘密度相乘不等于联合密度（除非独立）；卷积公式积分限由"使 f 不为 0 的区域"确定；|X| ≤ 1 型绝对值事件的等价变形 P{|X| ≤ 1} = P{−1 ≤ X ≤ 1}；max/min 别把加减方向搞反。