⚡ 核心公式速览
期望与函数期望：$$EX = \sum x_i p_i \text{ 或 } EX = \int x f(x)\,dx; \qquad E[g(X)] = \int g(x) f(x)\,dx$$
方差：$$DX = E(X^2) - (EX)^2$$
协方差与相关系数：$$\operatorname{Cov}(X, Y) = E(XY) - EX \cdot EY; \qquad \rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$$
万能方差公式：$$D(X \pm Y) = DX + DY \pm 2\operatorname{Cov}(X, Y)$$
常见分布期望方差表：$$B(n,p): np, \, np(1-p); \quad P(\lambda): \lambda, \, \lambda; \quad U(a,b): \frac{a+b}{2}, \, \frac{(b-a)^2}{12}; \quad N(\mu,\sigma^2): \mu, \, \sigma^2$$
本讲定位：随机变量的数字特征。考题：5 分小题 / 配合第 2、3 讲考 12 分解答题。研究的动机：分布函数虽然全面准确地刻画了随机变量，但很多场合只需要"最强弱的那个方向"之类的关键数字。
一、数学期望
- 离散：EX = Σxᵢpᵢ；连续：EX = ∫x·f(x)dx（绝对收敛才存在）。
- 性质：线性 E(aX+bY) = aEX + bEY（无需独立！）；函数期望公式 E[g(X)] = Σg(xᵢ)pᵢ、E[g(X,Y)] = ∬g·f dxdy（免求 g 的分布——考试捷径）。
- 常见分布的期望要熟记：B(n,p) → np；P(λ) → λ；U(a,b) → (a+b)/2；E(λ) → 1/λ；N(μ,σ²) → μ。
二、方差
- DX = E[(X − EX)²] = E(X²) − (EX)²（计算必用后者）。
- 性质：D(C) = 0；D(aX+b) = a²DX；X、Y 独立时 D(X±Y) = DX + DY（不独立时有 Cov 项）；常见分布方差熟记：B(n,p) → np(1−p)；P(λ) → λ；U(a,b) → (b−a)²/12；E(λ) → 1/λ²；N(μ,σ²) → σ²。
- 切比雪夫不等式：P{|X − EX| ≥ ε} ≤ DX/ε²（了解）。
三、协方差与相关系数
- Cov(X,Y) = E(XY) − EX·EY；性质：Cov(X,X) = DX；Cov(X,Y) = Cov(Y,X)；双线性。
- D(X±Y) = DX + DY ± 2Cov(X,Y)（一般情形万能公式）。
- 相关系数 ρ = Cov(X,Y)/(√DX·√DY)；|ρ| ≤ 1；ρ = 0 不相关（无线性关系），独立 ⟹ 不相关，反之不真；二维正态：不相关 ⟺ 独立。
- max(X,Y)、min(X,Y) 的期望：用 max = (X+Y+|X−Y|)/2 或分布函数法（联合分布已知时）。
易错点
：E(XY) = EX·EY 需要独立（或至少不相关）；DX 公式写成 E(X²) − (EX)² 的顺序错；独立与不相关混淆；综合题"不必从分布出发"直接用性质凑（书里 4.2 的思想）。