⚡ 核心公式速览
乘法核心结论：$$AB \neq BA, \quad AB = O \nRightarrow A = O \text{ 或 } B = O, \quad |AB| = |A| \, |B|$$
秩 1 矩阵的幂：$$A = \alpha \beta^T \implies A^n = (\beta^T \alpha)^{n-1} A$$
逆矩阵穿脱原则：$$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}, \quad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T, \quad |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$$
伴随矩阵核心公式：$$A A^ = A^ A = |A| E, \qquad A^* = |A| A^{-1} \ (|A| \neq 0)$$
伴随的公式族：$$|A^| = |A|^{n-1}, \quad (kA)^ = k^{n-1} A^, \quad (A^)^ = |A|^{n-2} A, \quad (AB)^ = B^ A^$$
伴随的秩：$$r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A) = n \\ 1, & r(A) = n - 1 \\ 0, & r(A) \leq n - 2 \end{cases}$$
初等矩阵：左乘 = 行变换，右乘 = 列变换；\(E_{ij}^{-1} = E_{ij}\)，\(E_{ii}(k)^{-1} = E_{ii}(1/k)\)，\(E_{ij}(k)^{-1} = E_{ij}(-k)\)。
秩的重要式子：$$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}, \quad r(A + B) \leq r(A) + r(B)$$ $$A_{m \times n} B_{n \times s} = O \implies r(A) + r(B) \leq n, \qquad r(A) = r(A^T) = r(A^T A)$$
一、矩阵的本质与基本运算
矩阵 = 表达系统信息的数表；由若干行（列）向量拼成，行（列）向量之间可能存在某种关系——反映了矩阵的本质：矩阵的秩。
定义：\(m \times n\) 个数排成的 m 行 n 列表格，记作 \(A = (a_{ij})_{m \times n}\)。\(m = n\) 时称 n 阶方阵；同型矩阵 = 行数、列数相等。
- 相等：同型且对应元素相等（两个矩阵做运算常需保证同型）；
- 加法：对应元素相加；数乘：每个元素都乘 k（与行列式只乘一行/列不同：\(k|A|\) 只乘某行，\(|kA|\) 是每个元素乘 k）；
- 线性运算规律：交换律、结合律、分配律、数和矩阵相乘的结合律 \(k(lA) = (kl)A\)。
Gram 矩阵（转置乘本身的易考点）
\(A^T A\)：对角线 = 各列向量长度的平方，非对角线 = 列向量间的相关程度（余弦相似度），可以做出很漂亮的数据分析。正交矩阵其实是作数据的旋转，三角矩阵是数据的剪切变形，\(A \pm B\) 是数据平移。
二、矩阵乘法（本讲第一大考点）
- 条件：A 的列数 = B 的行数；\((AB)_{ij} = c_{ij} = \sum_{s=1}^{n} a_{is} b_{sj}\) = A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积之和（行向量与列向量的内积）。
- 运算规律：结合律 \((AB)C = A(BC)\)；分配律；数乘结合 \((kA)B = k(AB)\)。
- ①不满足交换律：\(AB \neq BA\)（几何：变换顺序不同）；
- ② \(A \neq O, B \neq O\) 但 \(AB = O\) 可能发生 ⟹ 消去律不成立：\(AB = O \nRightarrow A = O\) 或 \(B = O\)（★★经常出题）；
- ⑤同阶方阵：\(|AB| = |A| |B|\)。
重要观点与经典结论
- 矩阵 = 行向量拼成 = 列向量拼成；行（列）向量间的某种关系 = 矩阵的秩的本质。
- r(A) = 1 时：A 可分解为列向量乘行向量，且 \(A^n = (\beta^T\alpha)^{n-1} A = (\sum a_i b_i)^{n-1} A\)（αβᵀ 型矩阵的幂，必考）。
- 若 \(\alpha = [1,2,3]^T\)，\(\beta = [1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}]^T\)，则 \((\alpha \beta^T)^n = 3^{n-1}\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 \end{bmatrix}\)。
三、转置与方阵的幂
- 转置运算律：\((A+B)^T = A^T + B^T\)，\((AB)^T = B^T A^T\)，\((kA)^T = kA^T\)。
- 方阵的幂：\(E\) 与任何方阵可交换 ⟹ \(A = E + B\) 时用二项式展开；旋转矩阵利用周期性（\(A^8 = 2^8E = 256E\)）。
四、逆矩阵
- 定义：\(AB = BA = E\)（n 阶方阵），逆唯一，记 \(A^{-1} = B\)；A 可逆 ⟺ |A| ≠ 0。
- 性质（穿脱原则）：\((A^{-1})^{-1} = A\)；\((kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}\)；\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)；\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)；\(|A^{-1}| = |A|^{-1} = \frac{1}{|A|}\)。
- A+B 不一定可逆，且 \((A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}\)（★常考陷阱）。
求逆三法
- 定义法：把题设恒等式凑成"左端 = 待求逆矩阵 × 另一矩阵，右端 = E"。经典模型：\(AB = A + B \Rightarrow AB - A - B + E = E \Rightarrow (A-E)(B-E) = E\)（提公因式：左进右进）；\(A^{-1}+B^{-1}\) 可逆时 \((A+B)^{-1} = B^{-1}(A^{-1}+B^{-1})^{-1}A^{-1}\)。
- 分解法：A = BC（B、C 可逆）⟹ \(A^{-1} = C^{-1}B^{-1}\)。
- 伴随矩阵法：\(A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}\)（二阶口诀：主对角互换、副对角变号）。
五、伴随矩阵 A*（★★★★）
- 定义：|A| 的 n² 个代数余子式按转置形式排列（\(A_{ij}\) 写在 A* 的第 j 列）。核心公式（对任意 n 阶方阵成立）：
$$AA^ = A^A = |A|E$$
重要公式表（全部可由 AA* = |A|E 推出）
- |A| ≠ 0 时：\(A^* = |A|A^{-1}\)，\(A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*\)，\(A = |A|(A^{-1})^*\)；
- \(|A^*| = |A|^{n-1}\)；\((kA)^* = k^{n-1}A^*\)；\(|(A^*)^*| = |A|^{(n-1)^2}\)；
- \((A^*)^* = |A|^{n-2}A\)（当 \(n \geq 2\)）；\((A^*)^T = (A^T)^*\)；\((A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{A}{|A|}\)；\((AB)^* = B^*A^*\)；
- 秩：\(r(A^*) = n\)（\(r(A) = n\)）；\(r(A^*) = 1\)（\(r(A) = n-1\)）；\(r(A^*) = 0\)（\(r(A) < n-1\)）；
- 注意：\((A+B)^* \neq A^* + B^*\)。
用伴随矩阵求逆（三步）
- \(A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}\)。
经典：\(AB\) 可逆时 \([O\ A; B\ O]\) 的逆 = \([O\ B^{-1}; A^{-1}\ O]\)（例 2.10 分块伴随的"成败 (−1)²"技巧）；\(|2B^*A^{-1}|\) 型综合：全部化成 \(|A^*| = |A|^{n-1}\)、\(|A^{-1}| = |A|^{-1}\)、\(|kA| = k^n|A|\) 后再算（例 2.11 答案 \((-8)^{-1}\)）。
六、初等变换与初等矩阵
- 三种初等变换：①倍乘某非零行（列）②互换两行（列）位置 ③某行 k 倍加到另一行（列）。求秩：行、列变换可通用；求逆矩阵：只用行变换；解线性方程组：只用行变换。
- 初等矩阵：单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵。三类：\(E_{ii}(k)\) 倍乘型、\(E_{ij}\) 互换型、\(E_{ij}(k)\) 倍加型。
- 最常考结论：对 A 左乘初等矩阵 = 行变换；右乘初等矩阵 = 列变换。
- 初等矩阵可逆，逆仍是同类初等矩阵：\(E_{ij}^{-1} = E_{ij}\)（\(|E_{ij}| = -1\)）；\(E_{ii}(k)^{-1} = E_{ii}(\frac{1}{k})\)；\(E_{ij}(k)^{-1} = E_{ij}(-k)\)。
- A 可逆 ⟺ A = 有限个初等矩阵的乘积；\([A|E]\) 初等行变换 → \([E|A^{-1}]\)（求出后验证 \(AA^{-1} = E\)）。
- 行阶梯形：零行在下方 + 非零行首非零元列标严格增大；行最简形：首非零元为 1 且所在列其余元素为 0（解方程组化到行最简即可）。
七、矩阵方程
- 解矩阵方程先恒等变形化成 AX = B / XA = B / AXB = C 的形式：
$$AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B, \qquad XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}, \qquad AXB = C \Rightarrow X = A^{-1}CB^{-1}$$
- AX = B 型两边同乘左乘 A⁻¹；XA = B 型两边同乘右乘 A⁻¹——方向搞反是最常见错误。
- 分块求逆（B、C 可逆）：\([B,O;O,C]^{-1} = [B^{-1},O;O,C^{-1}]\)；\([O,B;C,O]^{-1} = [O,C^{-1};B^{-1},O]\)；含 C 的副对角块公式（如 \([B,D;O,C]^{-1} = [B^{-1},-B^{-1}DC^{-1};O,C^{-1}]\)）——理解推导方法即可，不必死记。
八、矩阵的秩
- 定义：存在 k 阶子式不为零，而任意 k+1 阶子式（如有）全为零，则 \(r(A) = k\)。方阵：\(r(A_{n \times n}) = n \iff |A| \neq 0 \iff A\) 可逆。
- 求法：初等行变换化行阶梯形矩阵，非零行数 = 秩。
秩的重要式子（★★★必背）
- \(0 \leq r(A) \leq \min(m, n)\)；\(r(A) = 0 \Leftrightarrow A = O\)；
- ★ \(r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}\)；
- ★ \(r(A+B) \leq r(A) + r(B)\)；
- ★ \(r(A^*) = n\)（\(r(A) = n\)）；\(r(A^*) = 1\)（\(r(A) = n-1\)）；\(r(A^*) = 0\)（\(r(A) < n-1\)）——因 \(AA^* = |A|E\)，A 可逆则 A* 可逆；
- P、Q 可逆 ⟹ \(r(PAQ) = r(A) = r(PA) = r(AQ)\)；
- ★ \(A_{m \times n} B_{n \times s} = O \Rightarrow r(A) + r(B) \leq n\)；
- ★ \(r(A) = r(A^T) = r(A^T A) = r(AA^T)\)。
易错点清单
① 消去律不成立：\(AB = O\) 推不出 A = O 或 B = O；② \((A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}\)、\((A+B)^* \neq A^* + B^*\)、\(|A+B| \neq |A| + |B|\)；③ \(|kA| = k^n|A|\)；④ 矩阵方程左乘/右乘方向；⑤ 伴随矩阵是转置排列且 \((A^*)^* = |A|^{n-2}A\)；⑥ \(AB = E\) 只能推出 B = A⁻¹（AAA 性质：可逆方阵与左乘右乘无关）。