⚡ 核心公式速览
内积与模：$$(\alpha, \beta) = \alpha^T \beta, \qquad \|\alpha\| = \sqrt{(\alpha, \alpha)}, \qquad \cos\theta = \frac{(\alpha, \beta)}{\|\alpha\| \, \|\beta\|}$$
线性相关的秩判别：$$\alpha_1, \cdots, \alpha_m \text{ 线性相关} \iff r(\alpha_1, \cdots, \alpha_m) < m$$
n 个 n 维列向量：$$\alpha_1, \cdots, \alpha_n \text{ 线性无关} \iff |\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n| \neq 0$$
等价向量组：$$r(\text{I}) = r(\text{II}) = r(\text{I}, \text{II})$$
过渡矩阵（基变换）：$$(\beta_1, \beta_2) = (\alpha_1, \alpha_2) C, \qquad x = C y$$
本讲地位：线性代数的"主题版块"起点。向量组的线性相关性是行列式（第1讲）、秩（第2讲）与方程组（第4讲）的交汇点，是概念辨析题的重灾区。
一、向量及其运算
- n 维向量：n 个数组成的有序数组。内积 (α,β) = αᵀβ；模 ‖α‖ = √(α,α)；‖α‖ = 1 为单位向量；(α,β) = 0 称正交。
- 标准正交向量组：两两正交且都是单位向量。正交矩阵：AᵀA = E ⟺ A 的行（列）向量组是规范正交组；正交矩阵作用于向量 = 旋转，且 |A| = ±1。
- Schmidt 正交化（后续特征值、二次型要用）。
二、线性组合与线性表示
- β 可由 α₁,…,αₛ 线性表示 ⟺ 方程组 x₁α₁+…+xsαs = β 有解（有解 ⟺ r(α₁,…,αs) = r(α₁,…,αs,β)）。
- 定理：α₁,…,αs 线性无关而 β,α₁,…,αs 线性相关 ⟹ β 可由 α₁,…,αs 线性表示且表示法唯一。
三、线性相关与无关（判别核心）
- 定义：存在不全为零的 k 使 k₁α₁+…+kmαm = 0 为线性相关；只有全为零时成立为线性无关。
- 七大判别定理（要点）：①α 线性相关 ⟺ 齐次方程组有非零解 ⟺ r(α₁,…,αm) < m；α 线性无关 ⟺ 只有零解 ⟺ r = m ②向量个数大于维数（n+1 个 n 维向量）必线性相关 ③n 个 n 维列向量线性无关 ⟺ |α₁,…,αₙ| ≠ 0 ④部分相关则整体相关；整体无关则部分无关 ⑤α 线性无关，β 相关组 ⟹ β 可由 α 组唯一表示 ⑥两两正交的非零向量组必线性无关 ⑦线性无关组的任意延长组（接分量）仍无关（部分组无关 ⟹ 接长组无关）。
- 几何：两个向量成比例（共线）⟹ 相关；三个向量共面 ⟹ 相关。
四、极大线性无关组与向量组的秩
- 极大无关组：向量组中最大的线性无关部分组（个数 = 该向量组的秩）；不唯一但所含个数唯一。
- 向量组的秩 = 极大无关组所含向量个数 = 对应矩阵的行秩 = 列秩（三秩相等）。
- 求法：以列向量拼矩阵 → 初等行变换化行阶梯 → 首非零元所在列为极大无关组，其余向量由它线性表示（系数即行最简形中对应分量）。
- 若 r(α₁,…,αm) = 1：A = αβᵀ 型分解（第 2 讲公式）。
五、等价向量组
- 定义：两组向量能互相线性表示。等价 ⟺ r(Ⅰ) = r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)。
- 等价向量组 ≠ 等价矩阵：等价矩阵只要求秩相等（经初等变换可互化），条件弱得多。
六、向量空间（仅数学一）
- 向量空间：对加法、数乘封闭的向量集合；基 = 极大无关组；维数 = 基所含向量个数；任何向量都可由基唯一线性表示（坐标）。
- 基变换与坐标变换：过渡矩阵 C 满足 (β₁,β₂) = (α₁,α₂)C；坐标变换 x = Cy。
易错点
："部分相关 ⟹ 整体相关"不能反推；等价向量组与等价矩阵混为一谈；"能表示"与"表示唯一"是两件事（无关=唯一）；n 个 n 维向量用行列式判别，n+1 个用定义/秩判别。