⚡ 核心公式速览
齐次方程组基础解系：$$\xi_1, \cdots, \xi_{n - r(A)} \text{（共 } n - r(A) \text{ 个）}， \qquad x = k_1 \xi_1 + \cdots + k_{n-r} \xi_{n-r}$$
非齐次有解判别：$$\begin{cases} r(A) \neq r(A|b), & \text{无解} \\ r(A) = r(A|b) = n, & \text{唯一解} \\ r(A) = r(A|b) < n, & \text{无穷多解} \end{cases}$$
非齐次通解结构：$$x = k_1 \xi_1 + \cdots + k_{n-r} \xi_{n-r} + \eta^ \quad (\eta^ \text{ 为特解})$$
解的性质：$$\eta_1 - \eta_2 \text{ 是 } Ax = 0 \text{ 的解}, \qquad \xi + \eta \text{ 仍是 } Ax = b \text{ 的解}$$
本讲地位：线性代数的"应用版块"核心，与向量组（第3讲）互为表里——"方程组与向量组其实是一回事"。考研解答题 12 分大户，必须熟练到"条件反射"。
一、基本形式与三件套
- 向量形式 x₁α₁+x₂α₂+…+xnαn = b；矩阵形式 Ax = b；增广矩阵 [A|b]（系数矩阵与常数项拼起来）。
- 齐次 Ax = 0 永远有解（至少零解）；关注"是否有非零解"。
二、齐次方程组 Ax = 0
- 有非零解 ⟺ r(A) < n（未知数个数）；n 个 n 维列向量时 ⟺ |A| = 0（第 3 讲定理 4）。
- 基础解系：解向量组的极大无关组，含 n − r(A) 个线性无关的解向量；通解 x = k₁ξ₁+…+kn−rξn−r（k 为任意常数）。
- 求解三步：①系数矩阵初等行变换化行阶梯 ②确定秩 r 与自由变量个数 n − r（按列找 r 阶子矩阵，剩余列对应自由变量）③对自由变量按基础解系取值（如依次取 1,0,0…），求出 ξᵢ 并写通解。
三、非齐次方程组 Ax = b
- 有解判别：r(A) ≠ r(A|b) ⟺ 无解；r(A) = r(A|b) = n ⟺ 唯一解；r(A) = r(A|b) = r < n ⟺ 无穷多解。
- 解的性质：η₁ − η₂ 是导出组 Ax = 0 的解；ξ + η（ξ 是 Ax=0 的解）仍是 Ax = b 的解。
- 通解结构：x = k₁ξ₁+…+kn−rξn−r + η（特解 η + 导出组通解）。求解步骤：先求导出组通解 → 再求一个特解（自由变量取 0 最方便）→ 拼装。
- 记忆：非齐次解的差是齐次解；"特解 + 齐次通解"是全部解。
四、两个方程组的公共解
- 联立两组方程一起化行阶梯（公共解同时满足两套方程）；已知通解形式时，把通解代回另一组定出参数。
五、同解方程组
- 同解 ⟺ 解空间相同 ⟺ r(A) = r(B) = r(A;B) 型的秩关系成立。常与 r(AᵀA) = r(A) 等秩的式子结合出题。
易错点
：自由变量个数是 n − r(A) 而不是 n − 方程个数；非齐次通解里千万别忘加特解；r(A) = r(A|b) 时若 = n 是唯一解（没有自由变量）；基础解系不唯一但个数固定为 n − r(A)；行变换求逆/解方程不能混用列变换。